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:heavy_check_mark: Heavy-Light Decomposition (重軽分解)
(graph/heavy_light_decomposition.hpp)

HL分解とも呼ばれる

使い方

Graph<int> g;
int root;
HeavyLightDecomposition hld(g, root);
auto intervals = hld.path_query(u, v, true);   // u - v パスに対応する区間を列挙 (区間の長さが 0 の場合もあり)

参考文献

Depends on

Verified with

Code

#pragma once

#include "graph/graph_template.hpp"

// Heavy-Light Decomposition
template <class T> struct HeavyLightDecomposition {
    int n;
    // dfs_size
    std::vector<int> subsize;  // subsize[v] = v を根とする部分木のサイズ
    std::vector<int> depth;    // depth[v] = v の深さ
    std::vector<int> parent;   // parent[v] = v の親の頂点番号

    // dfs_hld
    std::vector<int> vertices;  // Heavy-Edge から優先的に DFS したときの頂点の番号を並べたもの, n 要素
    std::vector<int> edges;     // Heavy-Edge から優先的に DFS したときの辺の番号を並べたもの, n - 1 要素
    std::vector<int> pathtop;   // pathtop[v] = v を含むパス上の祖先
    std::vector<int> subbegin;  // subbegin[v] = v を根とする部分木の頂点列の開始位置, vertices における v の登場位置
    std::vector<int> subend;    // subend[v] = v を根とする部分木の頂点列の終わり
    std::vector<int> eindex;    // eindex[e] = edges における e の登場位置

    // Graph<T> の辺の並べ替えを行うことに注意
    HeavyLightDecomposition(Graph<T>& g, const int root = 0) : n((int)(g.size())), subsize(n, 1), depth(n, 0), parent(n, -1), pathtop(n, -1), subbegin(n, -1), subend(n, -1), eindex(n - 1, -1) {
        // 部分木のサイズを計算
        auto dfs_size = [&](auto f, int cur, int par) -> void {
            parent[cur] = par;
            // 親方向への辺を末尾に移動
            for (int i = 0; i < (int)(g[cur].size()); i++) {
                if (g[cur][i].to == par) {
                    std::swap(g[cur][i], g[cur][(int)(g[cur].size()) - 1]);
                    break;
                }
            }
            // 部分木のサイズが最大のものを先頭に移動
            for (auto&& e : g[cur]) {
                if (e.to == par) continue;
                depth[e.to] = depth[cur] + 1;
                f(f, e.to, cur);
                subsize[cur] += subsize[e.to];
                if (subsize[e.to] > subsize[g[cur][0].to]) {
                    std::swap(e, g[cur][0]);
                }
            }
        };
        dfs_size(dfs_size, root, -1);

        // 頂点を並べる
        vertices.reserve(n);
        edges.reserve(n - 1);
        auto dfs_hld = [&](auto f, int cur, int par, int top) -> void {
            pathtop[cur] = top;
            subbegin[cur] = (int)(vertices.size());
            vertices.push_back(cur);

            for (auto&& e : g[cur]) {
                if (e.to == par) continue;
                eindex[e.id] = (int)(edges.size());
                edges.push_back(e.id);
                // top は heavy-edge に対してのみ引き継がれる
                f(f, e.to, cur, (e.to == g[cur][0].to ? top : e.to));
            }
            subend[cur] = (int)(vertices.size());
        };
        dfs_hld(dfs_hld, root, -1, root);
    }

    int lca(int u, int v) {
        // 同じパスまで上がる
        while (pathtop[u] != pathtop[v]) {
            if (subbegin[u] > subbegin[v]) {
                u = parent[pathtop[u]];
            } else {
                v = parent[pathtop[v]];
            }
        }
        if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
        return u;
    }

    // u - v パスに対応する区間
    // is_edges = true なら edges に対応する区間, false なら vertices に対応する区間
    std::vector<std::pair<int, int>> path_query(int u, int v, const bool is_edges) {
        std::vector<std::pair<int, int>> res;
        while (pathtop[u] != pathtop[v]) {
            if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
            // subbegin[u] <= subbegin[v]
            if (is_edges) {
                // edges に対応する区間なので pathtop[u] から parent[pathtop[u]] に行く辺も区間に加える
                res.emplace_back(subbegin[pathtop[v]] - 1, subbegin[v]);
            } else {
                res.emplace_back(subbegin[pathtop[v]], subbegin[v] + 1);
            }
            v = parent[pathtop[v]];
        }
        if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
        if (is_edges) {
            res.emplace_back(subbegin[u], subbegin[v]);
        } else {
            res.emplace_back(subbegin[u], subbegin[v] + 1);
        }
        return res;
    }

    // u を根とする部分木に対応する区間
    // is_edges = true なら edges に対応する区間, false なら vertices に対応する区間
    std::pair<int, int> subtree_query(int u, const bool is_edges) {
        if (is_edges) {
            return {subbegin[u], subend[u] - 1};
        } else {
            return {subbegin[u], subend[u]};
        }
    }
};
#line 2 "graph/heavy_light_decomposition.hpp"

#line 2 "graph/graph_template.hpp"

#include <vector>
#include <cassert>

template <class T> struct Edge {
    int from, to;
    T cost;
    int id;

    Edge() = default;
    Edge(const int from, const int to, const T cost = T(1), const int id = -1) : from(from), to(to), cost(cost), id(id) {}

    friend bool operator<(const Edge<T>& a, const Edge<T>& b) { return a.cost < b.cost; }

    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const Edge<T>& e) {
        // output format: {id: cost(from, to) = cost}
        return os << "{" << e.id << ": cost(" << e.from << ", " << e.to << ") = " << e.cost << "}";
    }
};
template <class T> using Edges = std::vector<Edge<T>>;

template <class T> struct Graph {
    struct EdgeIterators {
       public:
        using Iterator = typename std::vector<Edge<T>>::iterator;
        EdgeIterators() = default;
        EdgeIterators(const Iterator& begit, const Iterator& endit) : begit(begit), endit(endit) {}
        Iterator begin() const { return begit; }
        Iterator end() const { return endit; }
        size_t size() const { return std::distance(begit, endit); }
        Edge<T>& operator[](int i) const { return begit[i]; }

       private:
        Iterator begit, endit;
    };

    int n, m;
    bool is_build, is_directed;
    std::vector<Edge<T>> edges;

    // CSR (Compressed Row Storage) 形式用
    std::vector<int> start;
    std::vector<Edge<T>> csr_edges;

    Graph() = default;
    Graph(const int n, const bool directed = false) : n(n), m(0), is_build(false), is_directed(directed), start(n + 1, 0) {}

    // 辺を追加し, その辺が何番目に追加されたかを返す
    int add_edge(const int from, const int to, const T cost = T(1), int id = -1) {
        assert(!is_build);
        assert(0 <= from and from < n);
        assert(0 <= to and to < n);
        if (id == -1) id = m;
        edges.emplace_back(from, to, cost, id);
        return m++;
    }

    // CSR 形式でグラフを構築
    void build() {
        assert(!is_build);
        for (auto&& e : edges) {
            start[e.from + 1]++;
            if (!is_directed) start[e.to + 1]++;
        }
        for (int v = 0; v < n; v++) start[v + 1] += start[v];
        auto counter = start;
        csr_edges.resize(start.back() + 1);
        for (auto&& e : edges) {
            csr_edges[counter[e.from]++] = e;
            if (!is_directed) csr_edges[counter[e.to]++] = Edge(e.to, e.from, e.cost, e.id);
        }
        is_build = true;
    }

    EdgeIterators operator[](int i) {
        if (!is_build) build();
        return EdgeIterators(csr_edges.begin() + start[i], csr_edges.begin() + start[i + 1]);
    }

    size_t size() const { return (size_t)(n); }

    friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, Graph<T>& g) {
        os << "[";
        for (int i = 0; i < (int)(g.size()); i++) {
            os << "[";
            for (int j = 0; j < (int)(g[i].size()); j++) {
                os << g[i][j];
                if (j + 1 != (int)(g[i].size())) os << ", ";
            }
            os << "]";
            if (i + 1 != (int)(g.size())) os << ", ";
        }
        return os << "]";
    }
};
#line 4 "graph/heavy_light_decomposition.hpp"

// Heavy-Light Decomposition
template <class T> struct HeavyLightDecomposition {
    int n;
    // dfs_size
    std::vector<int> subsize;  // subsize[v] = v を根とする部分木のサイズ
    std::vector<int> depth;    // depth[v] = v の深さ
    std::vector<int> parent;   // parent[v] = v の親の頂点番号

    // dfs_hld
    std::vector<int> vertices;  // Heavy-Edge から優先的に DFS したときの頂点の番号を並べたもの, n 要素
    std::vector<int> edges;     // Heavy-Edge から優先的に DFS したときの辺の番号を並べたもの, n - 1 要素
    std::vector<int> pathtop;   // pathtop[v] = v を含むパス上の祖先
    std::vector<int> subbegin;  // subbegin[v] = v を根とする部分木の頂点列の開始位置, vertices における v の登場位置
    std::vector<int> subend;    // subend[v] = v を根とする部分木の頂点列の終わり
    std::vector<int> eindex;    // eindex[e] = edges における e の登場位置

    // Graph<T> の辺の並べ替えを行うことに注意
    HeavyLightDecomposition(Graph<T>& g, const int root = 0) : n((int)(g.size())), subsize(n, 1), depth(n, 0), parent(n, -1), pathtop(n, -1), subbegin(n, -1), subend(n, -1), eindex(n - 1, -1) {
        // 部分木のサイズを計算
        auto dfs_size = [&](auto f, int cur, int par) -> void {
            parent[cur] = par;
            // 親方向への辺を末尾に移動
            for (int i = 0; i < (int)(g[cur].size()); i++) {
                if (g[cur][i].to == par) {
                    std::swap(g[cur][i], g[cur][(int)(g[cur].size()) - 1]);
                    break;
                }
            }
            // 部分木のサイズが最大のものを先頭に移動
            for (auto&& e : g[cur]) {
                if (e.to == par) continue;
                depth[e.to] = depth[cur] + 1;
                f(f, e.to, cur);
                subsize[cur] += subsize[e.to];
                if (subsize[e.to] > subsize[g[cur][0].to]) {
                    std::swap(e, g[cur][0]);
                }
            }
        };
        dfs_size(dfs_size, root, -1);

        // 頂点を並べる
        vertices.reserve(n);
        edges.reserve(n - 1);
        auto dfs_hld = [&](auto f, int cur, int par, int top) -> void {
            pathtop[cur] = top;
            subbegin[cur] = (int)(vertices.size());
            vertices.push_back(cur);

            for (auto&& e : g[cur]) {
                if (e.to == par) continue;
                eindex[e.id] = (int)(edges.size());
                edges.push_back(e.id);
                // top は heavy-edge に対してのみ引き継がれる
                f(f, e.to, cur, (e.to == g[cur][0].to ? top : e.to));
            }
            subend[cur] = (int)(vertices.size());
        };
        dfs_hld(dfs_hld, root, -1, root);
    }

    int lca(int u, int v) {
        // 同じパスまで上がる
        while (pathtop[u] != pathtop[v]) {
            if (subbegin[u] > subbegin[v]) {
                u = parent[pathtop[u]];
            } else {
                v = parent[pathtop[v]];
            }
        }
        if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
        return u;
    }

    // u - v パスに対応する区間
    // is_edges = true なら edges に対応する区間, false なら vertices に対応する区間
    std::vector<std::pair<int, int>> path_query(int u, int v, const bool is_edges) {
        std::vector<std::pair<int, int>> res;
        while (pathtop[u] != pathtop[v]) {
            if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
            // subbegin[u] <= subbegin[v]
            if (is_edges) {
                // edges に対応する区間なので pathtop[u] から parent[pathtop[u]] に行く辺も区間に加える
                res.emplace_back(subbegin[pathtop[v]] - 1, subbegin[v]);
            } else {
                res.emplace_back(subbegin[pathtop[v]], subbegin[v] + 1);
            }
            v = parent[pathtop[v]];
        }
        if (subbegin[u] > subbegin[v]) std::swap(u, v);
        if (is_edges) {
            res.emplace_back(subbegin[u], subbegin[v]);
        } else {
            res.emplace_back(subbegin[u], subbegin[v] + 1);
        }
        return res;
    }

    // u を根とする部分木に対応する区間
    // is_edges = true なら edges に対応する区間, false なら vertices に対応する区間
    std::pair<int, int> subtree_query(int u, const bool is_edges) {
        if (is_edges) {
            return {subbegin[u], subend[u] - 1};
        } else {
            return {subbegin[u], subend[u]};
        }
    }
};
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